Возврат

Лабораторная работа №2.

Дискретные модели динамических систем.  Клеточные автоматы

Цель работы: Исследование процессов самоорганизации в дискретных системах. Изучение процесса роста (активации клеток) на компьютерной модели.

1. Теоретический материал

Процессы, наблюдаемые в окружающем мире, мы подразделяем на детерминированные, развитие которых предопределяется начальными условиями, и стохастические,  которые описываются с помощью статистических законов. В работе 1 было рассмотрено явление самоорганизации в результате стохастического процесса (образование и рост фрактального кластера). В результате подобных процессов для определенного диапазона параметров стохастических процессов мы получаем структуры, относительно постоянные по своим интегральным характеристикам (например, фрактальной размерности).  Можно ли говорить о какой-либо самоорганизации в случае детерминированных процессов?  Недавние исследования показали, что к самоорганизации способны и детерминированные системы, в которых состояние одного элемента строго определяется состоянием соседних элементов.

1.1. Представление сложных динамических процессов в виде дискретных систем 

В качестве типичного примера клеточного автомата обычно приводят компьютерную игру “Жизнь”, которую еще в 1970 г. создал для учебных целей английский математик  Дж.Конвей.

Эта игра упрощенно моделирует эволюцию, развитие и взаимодействие колоний микроорганизмов.  В ней рассматривается бесконечная плоская решетка квадратных элементов-клеток.  Правила этой игры следующие: каждый элемент может находиться в состоянии покоя или активности; элемент переходит из состояния покоя в активное состояние, если по соседству с ним оказались три активных элемента, причем в число соседей включены только четыре ближайших элемента на квадратной решетке. Время в этой игре дискретно (t = 1,2,... k). Каждый элемент решетки может быть “живым” (в нем есть микроорганизмы) или “мертвым” (микроорганизмов нет). Живые элементы можно отметить черным цветом, а мертвые - белым. Состояние каждого элемента может меняться в моменты времени t = 1,2,3... У каждого элемента есть восемь соседей, которые имеют с ним общие ребра и вершины.

Пусть в бесконечной цепочке клеток каждая клетка может находиться в состоянии “покоя” или “возбуждения”. Можно говорить в этом контексте и о “живой” или “мертвой” клетке. “Возбужденная в момент t  времени клетка посылает сигнал, который в момент времени доходит до соседних клеток. Клетка возбуждается (“живет”) в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток. Если же сигналы приходят с двух сторон, то клетка не возбуждается. (Если проводить аналогию с живыми организмами, это может означать, что “теснота”, недостаток ресурса делают невозможным размножение, и численность популяции сокращается).  Для такого автомата, зная, сколько клеток возбуждено в начальный момент времени,  можно уже предсказать, сколько клеток будет возбуждено через t  секунд. Наглядный эффект получается при моделировании такого клеточного автомата на экране дисплея. Нетрудно видеть, что картину, возникающую на экране, можно рассматривать как фрактальную структуру. (см. рисунок 3.2). Картина становится сложнее, если мы введем уже не одну начальную клетку, а несколько, однако и здесь можно наблюдать масштабную инвариантность, а это означает, что структура системы фрактальна. Она получила название «Ковер Серпинского».

1.2. Моделирование процесса роста с помощью клеточного автомата

Выше было отмечено, что модель такого клеточного автомата также можно использовать для иллюстрации процесса роста популяции. Образующиеся “пустоты” внутри фрактальной структуры, отображающей динамику развития популяции, можно интерпретировать как уменьшение популяции вследствие “выедания” пищевого ресурса. Однако в реальных условиях невозможно такое математически “правильное” развитие процесса. Можно моделировать, например, определенный процент смертности внутри популяции из-за различных причин (хищники, болезни, неблагоприятные абиотические факторы, случайная гибель). Такая смертность носит стохастический характер и моделируется с помощью так называемого генератора случайных чисел и задаваемой величины риска гибели для отдельных “клеток-индивидуумов”. При таком моделировании получаются самые различные варианты развития процесса, и, начиная с некоторого значения риска, для каждого варианта начальных условий возникают условия, когда популяция не может далее развиваться или поддерживать свою жизнедеятельность и гибнет.

Наверх

2. Выполнение лабораторной работы 

Порядок выполнения работы:

1) запустите программу, имитирующую клеточный автомат - kletavt.exe.

2) введите число начальных клеток, равное единице и величину риска, равную нулю;

3) проследите за процессом “размножения” клеток, ;

4) повторите процесс для других начальных условий (исходного количества клеток), проследите как меняется “плотность популяции клеток” во времени в зависимости от их исходного количества;

5) запишите Ваши выводы;

6) вновь запустите программу и для вашего варианта введите начальное количество клеток и значения риска гибели R, отличные от нуля;

7) повторите выполнение программы ( испытание) для одного и того же значения риска несколько раз (не менее 5);

10) постройте зависимость “выживаемости” W от  R (см. рисунок  3.3);

11) постройте график зависимости М = f(R);

8) повторите то же самое для других значений R;

9) занесите в таблицу (см. образец - таблица 1) значения риска R_i, исход испытания (1- если “популяция” клеток выжила, т.е. достигла i-го  поколения, определенного программой, 0 - если погибла “выживаемость” W=n/N_исп (n - число благоприятных исходов,  N_исп - число испытаний), соответствующие каждому испытанию значения “общей массы популяции” M, выводимые на экран, а также среднее значение массы М_m  для данного значения R:

 12) пользуясь графиком 3.3, определите приблизительное значение диапазона R, при котором состояние рассматриваемой системы неустойчиво, т.е. вероятность гибели популяции велика; в экологии эта зона назвается «зоной стресса»;

13) запишите выводы;

14) ответьте на контрольные вопросы.

Таблица 1

Наверх